Avaruus matemaatikolle ei ole pelkästään ympäröivä todellisuutemme, vaan abstrakti käsite tilalle, paikalle tai muodolle. Sillä voidaan kuvata esimerkiksi auton tila-avaruutta, fysiikan aika-avaruutta, datan muodostamaa tietokantaa tai avaruuden symmetrioiden kokoelmaa. Metrinen avaruus on sellainen, jolla voidaan mitata pisteiden välisiä etäisyyksiä ja joukkojen kokoja. Geometria tutkii niitä avaruuden ominaisuuksia, joita voidaan kuvata kvantifioitavien ominaisuuksien, kuten etäisyyden, avulla. Analyysi taas tutkii sitä, miten nämä ominaisuudet muuttuvat ajassa tai avaruuksien välisissä kuvauksissa. Yhdessä, ne antavat kielen ja teorian, jonka avulla voidaan kuvata avaruuden ominaisuuksia monipuolisesti. Käsitteet ovat universaaleja, ja niillä on laajasti sovelluksia: lyhimpien polkujen suunnittelusta aina datan analysoimiseen.
#Minätutkin geometrian ja analyysin perusteoriaa yleisessä metristen avaruuksien tilanteessa. Tyypillistä tälle teorialle on yleisyys, ja ettemme oleta avaruudelta paljoakaan. Yllättäen, näinkin yleisessä tilanteessa voidaan osoittaa syvällisiä tuloksia siitä, miten avaruuden geometria ja analyysi linkittyvät keskenään. Olen esimerkiksi osoittanut, että jos tietty luokka funktioita voidaan derivoida, niin silloin avaruus voidaan jakaa paloihin, jotka ovat erittäin yhtenäisiä. Ensimmäinen näistä on analyyttinen ominaisuus, ja jälkimmäinen geometrinen. Tämä tulos riippui siitä, että pystyimme kehittämään uuden “kvantitatiivisen yhtenäisyyden” käsitteen, joka linkitti avaruuden etäisyyden ja mitan, ja linkittämään sen aiemmin tunnettuihin analyyttisiin epäyhtälöihin. Nykyään tutkin milloin avaruutta, joka ei itse toteuta tällaista kvantitatiivista yhtenäisyyttä, voidaan muokata hallitusti sellaiseksi, joka sen toteuttaisi. Tämä johtaa laajasti kysymyksiin esimerkiksi siitä, kuinka suuri tason osajoukon pitää olla, jonka sisällä voidaan “lähes kaikkialla” siirtyä itä-länsi ja pohjois-etelä suunnassa. Kysymykset ovat hieman abstrakteja esittää, mutta niissä edistyminen riippuu pääasiassa hyvin perustavan laatuisten argumenttien paremmasta ymmärtämisestä.
Teen tutkimustani Suomen Akatemian, Eemil Aaltosen säätiön ja Jenny ja Arttu Wihurin säätiön rahoittamassa projektissa ja työryhmässä “Suomen Kvasimaailman Verkosto”. Työskentelen tällä hetkellä tutkijatohtorina ja apulaisprofessorina Jyväskylän Yliopistossa. Väittelin vuonna 2017 Courant Institutista, New Yorkissa, ja olin vuosina 2017-2020 University of California, Los Angelesissä jatkotutkijana. Vuonna 2020 palasin Suomeen, ja olen ollut Jyväskylässä ja Oulussa Akatemian tutkijatohtorina ja apulaisprofessorina.